Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
.
Passo 1
Resumo: a gente tem uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis em função de t e o enunciado sugere usar o palpite
. O conteúdo é resolução de EDOs pelo método de palpite exponencial e depois estudar comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Supomos
. Calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituindo na equação
agregamos os termos em
Passo 4
O fator não nulo leva ao polinômio característico
cuja solução é
Passo 5
A solução geral complexa é
$$y(t)=C_1e{(-3+i)t3}+C_2e{(-3-i)t3}.
com constantes
.
Passo 6
Para o comportamento em
, note que
superrápido e
,
ficam entre
. Logo
Passo 7
Agora o limite
$$L=\lim_{t\to+\infty}t{-3}e{-3+3t^3}y(t)
=e^{-3}\lim_{t\to+\infty}\frac{A\cos t^3+B\sin t3}{t3}=0.$$
Ou seja, esse limite vale zero.
Ou seja, esse limite vale zero.
Passo 8
Conclusão: a afirmação
é falsa. A alternativa verdadeira é que o limite é zero.
Resposta
A verdadeira afirmação é que todas as soluções tendem a zero quando
e