Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-2+18 t^3) d yd t+90 t^5 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^3 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty t^-3 e^-3+3 t^3 y(t)=y^prime(1)3+3 y(1).

Passo 1

Resumo: a gente tem uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis em função de t e o enunciado sugere usar o palpite y(t)=e^r t^3. O conteúdo é resolução de EDOs pelo método de palpite exponencial e depois estudar comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Supomos y(t)=e^r t^3. Calculamos as derivadas:
y'=3r t^2 e^r t^3,
y''=ddt(3r t^2 e^r t^3)=6r t e^r t^3+9r^2 t^4 e^r t^3

Passo 3

Substituindo na equação
t y''+(-2+18t^3)y'+90t^5y=0,
agregamos os termos em e^r t^3t^5 e obtemos
(9r^2+54r+90)e^r t^3t^5=0

Passo 4

O fator não nulo leva ao polinômio característico
r^2+6r+10=0,
cuja solução é
r=-3pm i

Passo 5

A solução geral complexa é
$$y(t)=C_1e{(-3+i)t3}+C_2e{(-3-i)t3}.
y(t)=C1e^(-3+i)t^3+C2e^(-3-i)t^3 y(t)=e{-3t3}\bigl(A\cos(t3)+B\sin(t3)\bigr),$$
com constantes y(t)=e^-3t^3l(Acos(t^3)+Bsin(t^3)r),.

Passo 6

Para o comportamento em tto+infty, note que e^-3t^3to0 superrápido e cos(t^3), sin(t^3) ficam entre -1,1). Logo
limtto+inftyy(t)=0

Passo 7

Agora o limite
$$L=\lim_{t\to+\infty}t{-3}e{-3+3t^3}y(t)
L=limtto+inftyt^-3e^-3+3t^3y(t) L=\lim_{t\to+\infty}t{-3}e{-3}e{3t3}e{-3t3}(A\cos t^3+B\sin t^3)
=e^{-3}\lim_{t\to+\infty}\frac{A\cos t^3+B\sin t3}{t3}=0.$$
Ou seja, esse limite vale zero.

Passo 8

Conclusão: a afirmação
limtto+inftyt^-3e^-3+3t^3y(t)=y'(1)3+3y(1)
é falsa. A alternativa verdadeira é que o limite é zero.

Resposta

A verdadeira afirmação é que todas as soluções tendem a zero quando tto+infty e
limtto+inftyt^-3e^-3+3t^3y(t)=0

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