Determine os pontos mais distantes da origem do sistema cartesiano e cujas coordenadas pertencem a interseção do elipsóide
com o plano
.
Passo 1
O enunciado pede para achar o(s) ponto(s) mais distante(s) da origem na curva obtida pela interseção do elipsóide
com o plano
. Esse é um problema de otimização com duas restrições, e a ferramenta ideal é o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Vamos montar a Lagrangiana usando como função objetivo
(distância ao quadrado) e as duas restrições
e
. Definimos
Passo 3
Impondo
obtemos as equações
Passo 4
Dessas equações tiramos
o que implica imediatamente
Passo 5
Agora usamos as duas restrições:
- Plano
dá
2) Elipsóide
Passo 6
Resolvendo esse sistema para
e
encontramos
e
.
Substituindo volta em vem
Substituindo volta em
Passo 7
Verificamos que esse ponto satisfaz as duas restrições e que é o único extremo máximo de
na curva. Como resultado, o ponto mais distante da origem é
, com distância
.
Resposta
O ponto mais distante da origem é
, cuja distância até a origem é
.