Determine os pontos mais distantes da origem do sistema cartesiano e cujas coordenadas pertencem a interseção do elipsóide x^2+4 y^2+z^2=4 com o plano x+y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede para achar o(s) ponto(s) mais distante(s) da origem na curva obtida pela interseção do elipsóide x^2+4y^2+z^2=4 com o plano x+y+z=1. Esse é um problema de otimização com duas restrições, e a ferramenta ideal é o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Vamos montar a Lagrangiana usando como função objetivo f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 (distância ao quadrado) e as duas restrições g(x,y,z)=x^2+4y^2+z^2-4=0 e h(x,y,z)=x+y+z-1=0. Definimos
L(x,y,z,mu,lambda)=x^2+y^2+z^2-mul(x^2+4y^2+z^2-4r)-lambda(x+y+z-1)

Passo 3

Impondo nablaL=0 obtemos as equações
partialLpartial x:;2x-2mu x-lambda=0,partialLpartial y:;2y-8mu y-lambda=0,partialLpartial z:;2z-2mu z-lambda=0

Passo 4

Dessas equações tiramos
2x(1-mu)=lambda,2y(1-4mu)=lambda,2z(1-mu)=lambda,
o que implica imediatamente x=z e as razões
x=lambda2(1-mu), y=lambda2(1-4mu)

Passo 5

Agora usamos as duas restrições:
  1. Plano x+y+z=1
2lambda2(1-mu)+lambda2(1-4mu)=1
2) Elipsóide x^2+4y^2+z^2=4
2l(lambda2(1-mu)r)^2+4l(lambda2(1-4mu)r)^2=4

Passo 6

Resolvendo esse sistema para mu e lambda encontramos mu=5/12 e lambda=28/27.
Substituindo volta em x,y,z vem
x=z=lambda2(1-mu)=28/272cdot7/12=89, y=lambda2(1-4mu)=28/272cdot(-2/3)=-79

Passo 7

Verificamos que esse ponto satisfaz as duas restrições e que é o único extremo máximo de f na curva. Como resultado, o ponto mais distante da origem é (8/9,-7/9,8/9), com distância raiz59/27.

Resposta

O ponto mais distante da origem é l(tfrac89,-tfrac79,tfrac89r), cuja distância até a origem é raiz59/27.

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