Questão 3. Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-2+18 t^3) d yd t+90 t^5 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^3 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
lim t +infty e^3 t^3 y(t) ned e lim t +infty e^2 t^3 y(t)=0.

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem que é:
t d^2 yd t^2 + (-2 + 18 t^3) d yd t + 90 t^5 y = 0, para t > 0
O conteúdo que vamos usar aqui é resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Precisamos achar uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada dydt = ddt ( e^r t^3 ) = e^r t^3 cdot ddt (r t^3) = e^r t^3 cdot 3 r t^2 :
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada d^2ydt^2 = ddt ( 3 r t^2 e^r t^3 ) = 3 r cdot ddt ( t^2 e^r t^3 ) :
ddt ( t^2 e^r t^3 ) = 2 t e^r t^3 + t^2 cdot 3 r t^2 e^r t^3 = e^r t^3 (2 t + 3 r t^4)
Usamos a regra do produto para derivar:
d^2ydt^2 = 3 r e^r t^3 (2 t + 3 r t^4) = 6 r t e^r t^3 + 9 r^2 t^4 e^r t^3
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir t ( 6 r t e^r t^3 + 9 r^2 t^4 e^r t^3 ) + ( -2 + 18 t^3 ) ( 3 r t^2 e^r t^3 ) + 90 t^5 e^r t^3 = 0 , 6 r t^2 e^r t^3 + 9 r^2 t^5 e^r t^3 - 6 r t^2 e^r t^3 + 54 r t^5 e^r t^3 + 90 t^5 e^r t^3 = 0 e na equação diferencial original:
Vamos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(6 r t^2 - 6 r t^2) e^r t^3 + (9 r^2 t^5 + 54 r t^5 + 90 t^5) e^r t^3 = 0
Os termos (9 r^2 + 54 r + 90) t^5 e^r t^3 = 0 se cancelam, restando:

Passo 7

Como (9 r^2 + 54 r + 90) t^5 = 0 nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por 9 r^2 + 54 r + 90 = 0 :
Para que isso seja válido para todo , o coeficiente deve ser zero:

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática:
9 r^2 + 54 r + 90 = 0 implies r^2 + 6 r + 10 = 0
Calculando o discriminante:
De
Como r = -6 pm raiz-42 = -3 pm i , as raízes são complexas:

Passo 9

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^(-3 pm i) t^3
Podemos expressar isso em termos de funções trigonométricas usando a forma de Euler:
y(t) = e^-3 t^3 ( cos(t^3) pm i sin(t^3) )
Como queremos uma solução real, consideramos apenas a parte real:
y(t) = e^-3 t^3 cos(t^3)

Resposta

Uma solução qualquer da equação diferencial é . Além disso, quando , temos que .

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