Questão 3. Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
ned e
.
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial de segunda ordem que é:
O conteúdo que vamos usar aqui é resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Precisamos achar uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
:
Então,
.
Passo 4
Agora, calculamos a segunda derivada
:
Usamos a regra do produto para derivar:
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Vamos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Os termos
se cancelam, restando:
Passo 7
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Para que isso seja válido para todo
, o coeficiente deve ser zero:
Passo 8
Vamos resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas:
Passo 9
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Podemos expressar isso em termos de funções trigonométricas usando a forma de Euler:
Como queremos uma solução real, consideramos apenas a parte real:
Resposta
Uma solução qualquer da equação diferencial é
. Além disso, quando
, temos que
.