Calcule:
integral0^pi 12(cos (z)+|cos (z)|) d z.

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integral0^pi 12(cos z + |cos z|) ,dz. O conteúdo envolve valor absoluto e definição de função por partes, e vamos usar que |x|=x se x>=0 e |x|=-x se x<0.

Passo 2

Primeiro identificamos onde cos z muda de sinal no intervalo [0,pi]. Como cos z=0 em z=pi2, temos duas regiões: de 0 a pi2 e de pi2 a pi.
Em cada região a integral fica mais simples. Usamos a definição de valor absoluto e vemos que
cos z + |cos z|2= cos z, & se 0<= z<= pi2, 0, & se pi2< z<= pi
Logo a integral se separa em
integral0^pi cos z + |cos z|2 ,dz = integral0^pi2 cos z ,dz + integralpi2^pi 0 ,dz

Passo 3

Basta calcular a parte não nula:
integral0^pi2 cos z ,dz = [sin z]0^pi2 = sinl(tfracpi2r) - sin(0) = 1 - 0 = 1

Resposta

1

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