Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Esse problema é um valor inicial de uma EDO linear de segunda ordem homogênea:
com
e
. Vamos usar transformada de Laplace, lembrando as propriedades para derivadas e tabelas usuais para inverter no final.
Passo 2
Aplicamos transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usamos as fórmulas
Então
vira
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
entra em
que se expande e agrupa em
Logo
Passo 4
Precisamos inverter
. Note que
Reescrevemos o numerador:
Assim
De tabela de Laplace, isso inverte para
Passo 5
Juntando tudo, a solução do problema de valor inicial é dada por
, que satisfaz
e
.
Resposta
y(t)=e^{t}\bigl(2\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)