Use Transformadas de Laplace para resolver os Problemas de valor inicial a seguir.
ly^prime prime-2 y^prime+5 y=0 ; y(0)=2, y^prime(0)=4,

Passo 1

Esse problema é um valor inicial de uma EDO linear de segunda ordem homogênea: y''-2y'+5y=0 com y(0)=2 e y'(0)=4. Vamos usar transformada de Laplace, lembrando as propriedades para derivadas e tabelas usuais para inverter no final.

Passo 2

Aplicamos transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usamos as fórmulas
Ly'(t)=sY(s)-y(0),
Ly''(t)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)
Então
Ly''-2Ly'+5Ly=0
vira
(s^2Y(s)-s y(0)-y'(0))-2(sY(s)-y(0))+5Y(s)=0

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=4 entra em
(s^2Y-2s-4)-2(sY-2)+5Y=0
que se expande e agrupa em
(s^2-2s+5)Y-2s=0
Logo
Y(s)=2ss^2-2s+5

Passo 4

Precisamos inverter Y(s). Note que
s^2-2s+5=(s-1)^2+2^2
Reescrevemos o numerador:
2s=2(s-1)+2
Assim
Y(s)=2(s-1)(s-1)^2+2^2+2(s-1)^2+2^2
De tabela de Laplace, isso inverte para
2e^tcos(2t)+e^tsin(2t)

Passo 5

Juntando tudo, a solução do problema de valor inicial é dada por y(t)=e^tl(2cos(2t)+sin(2t)r), que satisfaz y(0)=2 e y'(0)=4.

Resposta

y(t)=e^{t}\bigl(2\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

Exercícios relacionados