Seja B a fronteira da região no interior da circunferência |z|=4 e no exterior do quadrado de vértices x= pm 1 e y= pm 1, orientadas positivamente. Calcule
integralB f(z) d z
onde
f(z)=z1-e^z

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralBf(z),dz, onde f(z)=z1-e^z e B é a união da circunferência |z|=4 e do contorno do quadrado de vértices (pm1,pm1), ambas orientadas positivamente. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos: precisamos identificar as singularidades de f dentro da região delimitada por B e somar seus resíduos.

Passo 2

As singularidades de f(z)=z1-e^z surgem onde 1-e^z=0, ou seja e^z=1. Logo
z=2pi i k, kinZ

Passo 3

Cada uma dessas raízes é um polo simples (pois d/dz(e^z-1)=e^zneq0 em z=2pi i k). Em z=0 ocorre e^z-1sim z, mas o fator z no numerador cancela, tornando a singularidade em 0 removível.

Passo 4

Precisamos ver quais polos estão no interior de |z|<4 mas fora do quadrado |Re z|<=1,|Im z|<=1. Para kne0, |2pi i k|=2pi|k|>=2pi>4, logo nenhum kne0 está em |z|<4. E em k=0 não há polo. Portanto, não há polos de f nem dentro do círculo nem dentro do quadrado.

Passo 5

Como não há singularidades de f na região interior a B, o Teorema dos Resíduos diz que a integral sobre toda a fronteira é zero:
integralBf(z),dz=2pi isumresíduos=2pi icdot0=0í

Resposta

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