Seja
a fronteira da região no interior da circunferência
e no exterior do quadrado de vértices
e
, orientadas positivamente. Calcule
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
e
é a união da circunferência
e do contorno do quadrado de vértices
, ambas orientadas positivamente. O conteúdo é o Teorema dos Resíduos: precisamos identificar as singularidades de
dentro da região delimitada por
e somar seus resíduos.
Passo 2
As singularidades de
surgem onde
, ou seja
. Logo
Passo 3
Cada uma dessas raízes é um polo simples (pois
em
). Em
ocorre
, mas o fator
no numerador cancela, tornando a singularidade em
removível.
Passo 4
Precisamos ver quais polos estão no interior de
mas fora do quadrado
. Para
,
, logo nenhum
está em
. E em
não há polo. Portanto, não há polos de
nem dentro do círculo nem dentro do quadrado.
Passo 5
Como não há singularidades de
na região interior a
, o Teorema dos Resíduos diz que a integral sobre toda a fronteira é zero:
Resposta
0