Use o método de integração por partes para calcular: integralpi6^pi e^2 x sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral definido integralpi/6^pi e^2xsin x,dx usando integração por partes. Esse conteúdo aborda técnicas de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, e vamos precisar aplicar partes duas vezes e, depois, isolar a própria integral.

Passo 2

Na primeira integração por partes, escolhemos u = sin x e dv = e^2xdx. Então du = cos x,dx e v = tfrac12 e^2x. Logo:
integral e^2xsin x,dx = u v - integral v,du = tfrac12 e^2xsin x - tfrac12 integral e^2xcos x,dx

Passo 3

Para calcular integral e^2xcos x,dx, aplicamos partes de novo: definimos u = cos x e dv = e^2xdx, resultando em du = -sin x,dx e v = tfrac12 e^2x. Assim:
integral e^2xcos x,dx = tfrac12 e^2xcos x + tfrac12 integral e^2xsin x,dx

Passo 4

Chamando de I a integral integral e^2xsin x,dx, substituímos o resultado do passo anterior em
I = tfrac12 e^2xsin x - tfrac12 l(tfrac12 e^2xcos x + tfrac12 Ir)
Distribuindo e isolando I, chegamos à primitiva geral:
I(x) = 25e^2xsin x - 15e^2xcos x + C

Passo 5

Agora aplicamos os limites de tfracpi6 a pi:
Em x = pi: sinpi=0, cospi=-1, então
I(pi) = 25e^2picdot 0 - 15e^2picdot(-1) = 15e^2pi
Em x = tfracpi6: sintfracpi6=tfrac12, costfracpi6=tfracraiz32, então
Il(tfracpi6r) = 25e^pi/3cdottfrac12 - 15e^pi/3cdottfracraiz32 = l(tfrac15 - tfracraiz310r)e^pi/3 = 2-raiz310e^pi/3
Fazendo I(pi)-I(pi/6) obtemos:
15e^2pi - 2-raiz310e^pi/3

Resposta

15e^2pi - 2-raiz310e^pi/3

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