Calcule
integral0^2 pi d theta2+cos ^2 theta

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o integral
I=integral0^2pidtheta2+cos^2theta
Esse é um integral trigonométrico de função periódica. Para resolver vamos usar identidade de ângulo duplo e um resultado padrão de integrais do tipo integral0^2pidtheta/(a+bcostheta).

Passo 2

Usando a identidade de ângulo duplo para o cosseno, temos
cos^2theta=1+cos2theta2

Passo 3

Substituindo na expressão original, o denominador fica
$$2+\cos^2\theta=2+\frac{1+\cos2\theta}{2}=\frac{4+1+\cos2\theta}{2}=\frac{5+\cos2\theta}{2}.
2+cos^2theta=2+1+cos2theta2=4+1+cos2theta2=5+cos2theta2 é\frac{1}{2+\cos^2\theta}=\frac{2}{5+\cos2\theta}.
$$

Passo 4

Então o integral original se torna
$$I=\int_{0}^{2\pi}\frac{2,d\theta}{5+\cos2\theta}.
I=integral0^2pi2,dtheta5+cos2theta ã\int_{0}{2\pi}\frac{d\phi}{a+b\cos\phi}=\frac{2\pi}{\sqrt{a2-b^2}},\quad a>|b|.
$$

Passo 5

Para adaptar, note que
$$\int_{0}{2\pi}\frac{d\theta}{5+\cos2\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{52-1^2}}=\frac{2\pi}{\sqrt{24}}=\frac{\pi}{\sqrt{6}}.
integral0^2pidtheta5+cos2theta=2piraiz5^2-1^2=2piraiz24=piraiz6 I=2\cdot\frac{\pi}{\sqrt{6}}=\frac{2\pi}{\sqrt{6}}.
$$

Resposta

2pi/raiz6

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