(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
d) Se
é de classe
em
então
é contínua em
:
d) Se
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
é de classe
em
então
é contínua em
".
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de classe e como isso se relaciona com a continuidade da função.
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser de classe
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função de classe
. Uma função
é dita ser de classe
em um ponto se todas as suas primeiras derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto. Ou seja, as derivadas
e
existem e não apresentam saltos ou quebras em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função
é contínua em
se, para todo ponto dentro desse intervalo, o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto. Em termos simples, a função não tem “saltos” ou “buracos”.
Passo 4
Sabemos que se uma função possui derivadas parciais contínuas em um intervalo, isso implica que a própria função é contínua nesse intervalo. Isso ocorre porque a existência de derivadas contínuas garante que a função não tenha comportamentos abruptos, mantendo-a suave e sem interrupções.
Passo 5
Portanto, conclui-se que se
é de classe
em
, então
realmente é contínua em
.
Resposta
Verdadeiro.