Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral dupla, que é basicamente integrar uma função em duas variáveis, no caso aqui, $ y \cdot \sin(x) $. O conteúdo que vamos usar é cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui, a integral interna é em relação a $ x $, de $ 0 $ até $ y $, e a externa é em relação a $ y $, de $ 0 $ até $ \pi/2 $. Vamos começar resolvendo a integral interna.
Passo 3
Vamos integrar $ y \cdot \sin(x) $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ como uma constante (porque estamos integrando em relação a $ x $):
Como $ y $ é constante em relação a $ x $, podemos tirar ele da integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de $ \sin(x) $:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ y $:
Passo 5
Então, a integral interna fica:
Agora, vamos substituir isso na integral externa:
Passo 6
Vamos distribuir o $ y $:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é:
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ \pi/2 $:
Passo 8
Segunda integral:
Aqui, precisamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
Vamos escolher:
Passo 9
Aplicando integração por partes:
A integral de $ \sin(y) $ é:
Então, fica:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites:
Para $ y = \pi/2 $:
Para $ y = 0 $:
Subtraindo:
Passo 11
Voltando à expressão original:
Simplificando:
Passo 12
Então, a resposta final da integral dupla é:
Resposta
A integral dupla vale: