Calcule
integral0^pi / 2 integral0^y y cdot sen(x) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral dupla, que é basicamente integrar uma função em duas variáveis, no caso aqui, $ y \cdot \sin(x) $. O conteúdo que vamos usar é cálculo de integrais duplas, e para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^pi / 2 integral0^y y cdot sin(x) , dx , dy
Aqui, a integral interna é em relação a $ x $, de $ 0 $ até $ y $, e a externa é em relação a $ y $, de $ 0 $ até $ \pi/2 $. Vamos começar resolvendo a integral interna.

Passo 3

Vamos integrar $ y \cdot \sin(x) $ em relação a $ x $, mantendo $ y $ como uma constante (porque estamos integrando em relação a $ x $):
y cdot sin(x)
Como $ y $ é constante em relação a $ x $, podemos tirar ele da integral:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de $ \sin(x) $:
sin(x)
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ y $:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C

Passo 5

Então, a integral interna fica:
y cdot (1 - cos(y))
Agora, vamos substituir isso na integral externa:
integral0^pi / 2 y cdot (1 - cos(y)) , dy

Passo 6

Vamos distribuir o $ y $:
y
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
integral0^pi / 2 y , dy
A integral de $ y $ em relação a $ y $ é:
y
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ \pi/2 $:
y

Passo 8

Segunda integral:
integral0^pi / 2 y cdot cos(y) , dy
Aqui, precisamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = y Rightarrow du = dy
dv = cos(y) , dy Rightarrow v = sin(y)

Passo 9

Aplicando integração por partes:
uv - integral v , du = y cdot sin(y) - integral sin(y) , dy
A integral de $ \sin(y) $ é:
sin(y)
Então, fica:
-cos(y) + C

Passo 10

Agora, aplicamos os limites:
Para $ y = \pi/2 $:
y = pi/2
Para $ y = 0 $:
(pi/2) cdot sin(pi/2) + cos(pi/2) = (pi/2) cdot 1 + 0 = pi/2
Subtraindo:
y = 0

Passo 11

Voltando à expressão original:
integral0^pi / 2 y , dy - integral0^pi / 2 y cdot cos(y) , dy = pi^28 - ( pi2 - 1 )
Simplificando:
pi^28 - pi2 + 1

Passo 12

Então, a resposta final da integral dupla é:
pi^28 - pi2 + 1

Resposta

A integral dupla vale:
pi^28 - pi2 + 1

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