lim x infty 1-e-2+5 x^2-x^3

Passo 1

Vamos analisar o limite lim x infty 1 - e-2 + 5x^2 - x^3. Aqui, estamos lidando com o comportamento de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de x conforme x se aproxima do infinito. Para resolver esse tipo de limite, precisamos identificar quais termos têm maior impacto conforme x cresce muito.

Passo 2

No numerador, temos 1 - e. Sabemos que e é aproximadamente 2,718, então 1 - e é uma constante negativa ( -1,718). Não há termos com x no numerador, então o comportamento do numerador permanece constante mesmo quando x cresce.

Passo 3

No denominador, a expressão é -2 + 5x^2 - x^3. Aqui, temos três termos:
  • -2 é uma constante.
  • 5x^2 é um termo quadrático.
  • -x^3 é um termo cúbico.
Quando x tende ao infinito, os termos com maior potência de x dominam o comportamento da função. Isso significa que, no denominador, o termo -x^3 será muito maior em magnitude do que 5x^2 ou -2, influenciando principalmente o valor da expressão.

Passo 4

Com base nisso, podemos simplificar a expressão para focar nos termos que mais influenciam o limite:
lim x infty 1 - e-2 + 5x^2 - x^3 approx lim x infty 1 - e-x^3
Agora, observamos que o numerador é uma constante ( -1,718) e o denominador cresce de forma negativa sem limites ( -x^3 tende a -infty). Quando uma constante é dividida por um número que tende a -infty, o resultado do limite tende a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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