Calcule:
integral0^pi sen^2(4 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de sin^2(4x) no intervalo de 0 a pi. Para resolver isso, vamos usar uma identidade trigonométrica que facilita a integração de funções com seno ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, lembra da identidade trigonométrica para sin^2(theta)? Ela é super útil aqui:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Essa fórmula vai nos ajudar a simplificar a função que estamos integrando.

Passo 3

Aplicando essa identidade na nossa integral:
sin^2(4x) = 1 - cos(8x)2
Então, substituindo na integral, fica:
integral0^pi sin^2(4x) , dx = integral0^pi 1 - cos(8x)2 , dx

Passo 4

Agora, vamos dividir a integral em duas partes e tirar o fator 1/2 para simplificar:
= 12 integral0^pi 1 , dx - 12 integral0^pi cos(8x) , dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
    integral0^pi 1 , dx = [ x ]0^pi = pi - 0 = pi
  2. Segunda integral:
    Para integrar cos(8x), usamos a regra da integral de funções trigonométricas:
    integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C
    Então,
    integral0^pi cos(8x) , dx = [ sin(8x)8 ]0^pi = sin(8pi)8 - sin(0)8 = 0 - 0 = 0
    (Porque sin(8pi) e sin(0) são iguais a zero.)

Resposta

Juntando tudo, temos:
12 (pi - 0) = pi2
Portanto, o valor da integral é pi2.

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