Calcule as seguintes integrais:
integral 1x ln x-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente integração de funções racionais que combinam logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma simplificada na expressão do denominador. A gente tem x ln x - x = x(ln x - 1) . Dá para fatorar o integral 1x(ln x - 1) , dx aí:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição pra facilitar. Vamos deixar u = ln x - 1 . Assim, a gente precisa achar dudx = 1x em termos de du = 1x , dx :
Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral original:
integral 1x(ln x - 1) , dx = integral 1u , du
Agora, a integral está muito mais simples!

Passo 5

A integral de integral 1u , du = ln |u| + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo ln |u| + C = ln |ln x - 1| + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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