Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região entre as funções
e
no intervalo
.
Encontre a área da região entre as funções
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de área que envolve duas funções:
e
no intervalo de
entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas funções no intervalo dado. A função
é uma linha reta que passa pela origem e sobe até o ponto (1,1). A função
é uma parábola que também passa pela origem, mas sobe mais suavemente, alcançando o ponto (1,1).
Passo 3
Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo de 0 a 1. Vamos comparar os valores das funções nesse intervalo:
-
Quando
:
-
Quando
:
-
Quando
:
Vemos que
é maior que
no intervalo (0,1).
Passo 4
A área entre as duas curvas pode ser encontrada subtraindo a função que está abaixo da função que está acima e, em seguida, integrando essa diferença no intervalo dado. A fórmula é:
Onde
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para cálculos de área.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Passo 8
Calculando a diferença:
Resposta
A área da região entre as funções
e
no intervalo de
entre 0 e 1 é
unidades de área.