Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Encontre a área da região entre as funções f(x) = x e g(x) = x^2 no intervalo x in [0,1].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de área que envolve duas funções: e no intervalo de entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar entender como calcular a área entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas funções no intervalo dado. A função é uma linha reta que passa pela origem e sobe até o ponto (1,1). A função é uma parábola que também passa pela origem, mas sobe mais suavemente, alcançando o ponto (1,1).

Passo 3

Para encontrar a área entre essas duas curvas, precisamos determinar qual delas está acima da outra no intervalo de 0 a 1. Vamos comparar os valores das funções nesse intervalo:
  • Quando :

  • Quando :

  • Quando :

Vemos que é maior que no intervalo (0,1).

Passo 4

A área entre as duas curvas pode ser encontrada subtraindo a função que está abaixo da função que está acima e, em seguida, integrando essa diferença no intervalo dado. A fórmula é:
Á
Onde e .

Passo 5

Substituindo e na fórmula, temos:
Á

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para cálculos de área.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:

Passo 8

Calculando a diferença:

Resposta

A área da região entre as funções e no intervalo de entre 0 e 1 é unidades de área.

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