Calcule
a) integral0^pi / 4 e^tg xcos ^2 x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida
integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x,dx
O conteúdo é integração por substituição, pois vemos tan x dentro do expoente e 1/cos^2 x que é a derivada de tan x.

Passo 2

Fazemos a substituição u=tan x. Então temos
du=sec^2 x,dx=1cos^2 x,dx
Com isso, o integrando se torna e^u,du.

Passo 3

Transformamos os limites de integração: quando x=0, u=tan0=0; quando x=pi/4, u=tan(pi/4)=1. Assim a integral vira
integral0^1 e^u,du

Passo 4

Integramos e^u facilmente. Sabemos que integral e^u,du=e^u+C. Aplicando os limites de 0 a 1, obtemos
e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

e - 1

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