Determine
integral duplaR sin (x-y)cos (x+y) d A
sendo R a região limitada por y=0, y=x, x+y=pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRsin(x-y)cos(x+y),dA
sendo R limitada pelas retas y=0, y=x e x+y= pi/4. Vamos usar mudança de variáveis para simplificar o integrando.

Passo 2

Introduzimos as variáveis
u = x - y, v = x + y
que transformam o integrando em função de u,v. A inversa é
x = u+v2, y = v-u2
e o jacobiano em módulo é
l|partial(x,y)partial(u,v)r| = 12

Passo 3

Precisamos agora descrever R no plano uv. Cada fronteira dá:
  • y=0 → (v−u)/2=0 → v=u
  • y=x → u=0
  • x+y= pi/4 → v= pi/4
    Logo R uv é o triângulo
0 <= u <= v <= pi4

Passo 4

Reescrevendo a integral em u,v:
integral duplaRsin(x-y)cos(x+y),dA = integralv=0^pi/4integralu=0^vsin ucos vcdot12,du,dv
Fazendo primeiro a integral em u:
integral0^vsin u,du = 1 - cos v,
então a integral vira
12 integral0^pi/41-cos vcos v,dv = 12 integral0^pi/4(sec v - 1),dv

Passo 5

Agora integramos em v:
integral sec v,dv = ln|sec v + tan v|, integral(-1),dv = -v
Assim o resultado é
12l[ln|sec v + tan v| - vr]0^pi/4

Passo 6

Avaliando em v=pi/4 e v=0:
  • Em v=pi/4: sec=raiz2, tan=1 ln(raiz2+1)-pi/4.
  • Em v=0: dá zero.
    Subtraindo e multiplicando por 1/2, vem
12ln(raiz2+1) - pi8

Passo 7

Chegamos ao valor exato da integral.

Resposta

12ln(raiz2+1) - pi8

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