Determine
sendo
a região limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sendo R limitada pelas retas y=0, y=x e x+y=
. Vamos usar mudança de variáveis para simplificar o integrando.
Passo 2
Introduzimos as variáveis
que transformam o integrando em função de
. A inversa é
e o jacobiano em módulo é
Passo 3
Precisamos agora descrever R no plano
uv . Cada fronteira dá:
- y=0 → (v−u)/2=0 → v=u
- y=x → u=0
- x+y=
→ v=pi/4 pi/4
Logo R é o triângulouv
Passo 4
Reescrevendo a integral em
u,v :
Fazendo primeiro a integral em
u :
então a integral vira
Passo 5
Agora integramos em
v :
Assim o resultado é
Passo 6
Avaliando em
v=pi/4 e
v=0 :
- Em
:v=pi/4 ,sec=raiz2 dátan=1 .ln(raiz2+1)-pi/4 - Em
: dá zero.v=0
Subtraindo e multiplicando por , vem1/2
Passo 7
Chegamos ao valor exato da integral.