Considere C a circunferência x^2+y^2=4 orientada na sentido horário. O valor da integral integralC(cos (x^3)-y^3) d x+(y e^y^3+x^3) d y é:
Escolha uma opção:
16 pi
-16 pi
0
-24 pi
12 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha sobre a circunferência x^2+y^2=4, que gira no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região interna. Vamos precisar identificar as funções que estão multiplicando dx e dy na integral e aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P(x,y) e Q(x,y) que estão na nossa integral. A integral dada é:
integralC (cos (x^3)-y^3) dx + (y e^y^3+x^3) dy
Então, temos:
P(x,y) = cos (x^3)-y^3
Q(x,y) = y e^y^3+x^3

Passo 3

Agora, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema funciona para curvas fechadas e suaves, e transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Nossa curva C é a circunferência x^2+y^2=4, que é fechada e suave, então estamos ok para aplicar o teorema.

Passo 4

O Teorema de Green nos diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Onde D é a região interna à curva C.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x ( y e^y^3 + x^3 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( cos (x^3)-y^3 ) = -3y^2
Então:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 6

Nossa região D é o círculo de raio 2, então em coordenadas polares:
x = r cos theta
y = r sin theta
E o elemento de área é dx,dy = r,dr,dtheta. A expressão 3x^2 + 3y^2 fica:
3x^2 + 3y^2 = 3r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 3r^2
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 3r^2 cdot r,dr,dtheta = 3 integral duplaD r^3 ,dr,dtheta

Passo 7

Vamos integrar:
3 integral0^2pi integral0^2 r^3 ,dr,dtheta = 3 integral0^2pi [ r^44 ]0^2 dtheta = 3 integral0^2pi ( 164 ) dtheta = 3 integral0^2pi 4 ,dtheta = 12 integral0^2pi dtheta = 12 cdot 2pi = 24pi
Mas atenção! Como a curva C está orientada no sentido horário, precisamos multiplicar por -1:
Integral = -24pi

Resposta

-24 pi

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