Considere
a circunferência
orientada na sentido horário. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
0
Escolha uma opção:
0
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha sobre a circunferência
, que gira no sentido horário. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas sobre a região interna. Vamos precisar identificar as funções que estão multiplicando
e
na integral e aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
que estão na nossa integral. A integral dada é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se podemos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema funciona para curvas fechadas e suaves, e transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Nossa curva
é a circunferência
, que é fechada e suave, então estamos ok para aplicar o teorema.
Passo 4
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região interna à curva
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então:
Passo 6
Nossa região
é o círculo de raio 2, então em coordenadas polares:
E o elemento de área é
. A expressão
fica:
Então, a integral dupla fica:
Passo 7
Vamos integrar:
Mas atenção! Como a curva
está orientada no sentido horário, precisamos multiplicar por
: