Calcule as seguintes integrais:
h) integral0^1(x^2+1) e^-x d x
i) integral1^4 raizt ln (t) d t

Passo 1

Resumindo o exercício: queremos calcular duas integrais definidas, a primeira é integral0^1(x^2+1)e^-x,dx e a segunda é integral1^4raiztln(t),dt. O conteúdo principal aqui é aplicação de integração por partes e avaliação de primitivas em limites.

Passo 2

Começando pela integral h) integral0^1(x^2+1)e^-x,dx, separamos em duas partes: integral0^1x^2e^-x,dx e integral0^1e^-x,dx. A segunda é direta, pois a primitiva de e^-x é -e^-x.
Para calcular integral x^2e^-x,dx, aplicamos integração por partes duas vezes. Definindo u=x^2, dv=e^-x,dx obtemos du=2x,dx e v=-e^-x. Logo
integral x^2e^-x,dx=-x^2e^-x+2integral x e^-x,dx

Passo 3

Em seguida, em integral x e^-x,dx escolhemos u=x, dv=e^-x,dx resultando em integral x e^-x,dx=-(x+1)e^-x+C. Assim a primitiva geral fica
integral x^2e^-x,dx=-(x^2+2x+2)e^-x+C

Passo 4

Agora avaliamos em 0 e 1: para x^2e^-x temos
[-(x^2+2x+2)e^-x]0^1=-(1+2+2)e^-1-[-2e^0]=2-5e^-1,
e para e^-x
integral0^1e^-x,dx=[-e^-x]0^1=1-e^-1

Passo 5

Somando as duas partes dá
2-5e^-1+1-e^-1=3-6e^-1

Passo 6

Passando para a integral i) integral1^4raiztln(t),dt, usamos integração por partes com u=ln(t), dv=t^1/2dt. Assim du=dt/t e v=tfrac23t^3/2. A primitiva geral é
integral t^1/2ln t,dt=23t^3/2ln t-23integral t^1/2,dt=23t^3/2ln t-49t^3/2+C

Passo 7

Avaliando de 1 a 4: para t=4 temos t^3/2=8 e ln4, para t=1 só sobra -4/9. O resultado final é
169(3ln4-2)+49=48ln4-289

Resposta

h) 3-6e^-1; i) dfrac48ln4-289.

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