Resolva integral1^2 x^3 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^2 x^3 ln x , dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um produto de funções ( x^3 e ln x).

Passo 2

A técnica de integração por partes usa a fórmula
integral u , dv = u v - integral v , du
Precisamos escolher u e dv de modo a simplificar a integral.

Passo 3

Definimos
u = ln x (pois sua derivada é simples) e
dv = x^3 , dx.
Assim,
du = tfrac1x , dx
e
v = integral x^3 , dx = tfracx^44

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes à integral indefinida, obtemos:
integral x^3 ln x , dx = u v - integral v , du = x^44 ln x - integral x^44 cdot 1x , dx = x^44 ln x - integral x^34 , dx
Integrando a parte restante:
integral x^34 , dx = x^416,
logo o resultado indefinido é
x^44 ln x - x^416 + C

Passo 5

Para a integral definida, avaliamos o antiderivado de 1 a 2:
( x^44 ln x - x^416 ) gr|1^2

Passo 6

Em x=2:
2^44 ln 2 - 2^416 = 4 ln 2 - 1
Em x=1:
1^44 ln 1 - 1^416 = 0 - 116 = -116

Passo 7

Subtraindo o valor em 1 do valor em 2, temos:
(4 ln 2 - 1) - l(-tfrac116r) = 4 ln 2 - 1 + tfrac116 = 4 ln 2 - tfrac1516

Resposta

4 ln 2 - tfrac1516

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