Calcule:
Passo 1
Vamos calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da integração por partes. Podemos expressar
como
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Sabemos que a derivada de
é
. Isso sugere que podemos usar a substituição onde:
Calculando as derivadas e integrais correspondentes:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Simplificando a segunda integral:
Passo 5
Lembrando que
, substituímos na integral:
Portanto, a equação fica:
Passo 6
Vamos reorganizar para isolar
:
Sabemos que
. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a
:
Passo 8
Vamos avaliar nos limites:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 9
Subtraindo os valores nos limites:
Resposta
A integral definida de
a
de
é igual a: