Calcule: integral0^pi3 sec ^3(x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a aplicação da integração por partes. Podemos expressar integral sec^3(x) , dx = integral sec(x) cdot sec^2(x) , dx como . Assim, a integral fica:

Passo 3

Sabemos que a derivada de u = sec(x) e dv = sec^2(x) , dx é du = sec(x) tan(x) , dx e v = tan(x) . Isso sugere que podemos usar a substituição onde:
Calculando as derivadas e integrais correspondentes:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes integral sec(x) cdot sec^2(x) , dx = sec(x) tan(x) - integral tan(x) cdot sec(x) tan(x) , dx , temos:
= sec(x) tan(x) - integral sec(x) tan^2(x) , dx
Simplificando a segunda integral:

Passo 5

Lembrando que integral sec(x) tan^2(x) , dx = integral sec(x) (sec^2(x) - 1) , dx = integral sec^3(x) , dx - integral sec(x) , dx , substituímos na integral:
integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) - ( integral sec^3(x) , dx - integral sec(x) , dx )
Portanto, a equação fica:

Passo 6

Vamos reorganizar para isolar 2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + integral sec(x) , dx :
2 integral sec^3(x) , dx = sec(x) tan(x) + ln |sec(x) + tan(x)|
Sabemos que integral sec^3(x) , dx = 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| + C . Substituindo:
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a integral0^pi3 sec^3(x) , dx = [ 12 sec(x) tan(x) + 12 ln |sec(x) + tan(x)| ]0^pi3 :

Passo 8

Vamos avaliar nos limites:
Para sec(pi3) = 2 e tan(pi3) = raiz3 :
12 cdot 2 cdot raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) = raiz3 + 12 ln(2 + raiz3)
Então:
sec(0) = 1 e tan(0) = 0
Para 12 cdot 1 cdot 0 + 12 ln(1 + 0) = 0 :
Então:

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) - 0 = raiz3 + 12 ln(2 + raiz3)

Resposta

A integral definida de raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) a de é igual a:

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