Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição, que é uma forma de simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir
. Isso serve para reduzir o expoente complicado no denominador.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
. Se
, então
. Isso significa que
. Queremos expressar
em termos de
, então rearranjamos:
.
Passo 4
Vamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
,
. Quando
,
. Assim, nossa integral agora fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Essa é uma integral padrão que resulta em uma função logarítmica. A fórmula para
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 6
Aplicando essa fórmula na nossa integral, temos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
a
.
Passo 7
Primeiro, avaliamos em
:
Depois, avaliamos em
:
Passo 8
Subtraímos os dois resultados:
Multiplicando pela constante
, temos:
Resposta
A integral vale
.