Calcule: integral0^1 x^2raizx^6+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição, que é uma forma de simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir . Isso serve para reduzir o expoente complicado no denominador.

Passo 3

Agora, derivamos em relação a para encontrar . Se , então . Isso significa que . Queremos expressar em termos de , então rearranjamos: .

Passo 4

Vamos mudar os limites de integração de integral0^1 x^2raizx^6+4 , dx = 13 integral0^1 1raizu^2 + 4 , du para . Quando , . Quando , . Assim, nossa integral agora fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Essa é uma integral padrão que resulta em uma função logarítmica. A fórmula para é , onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando essa fórmula na nossa integral, temos:
13 [ ln(u + raizu^2 + 4) ]0^1
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de a .

Passo 7

Primeiro, avaliamos em ln(1 + raiz1 + 4) = ln(1 + raiz5) :
ln(0 + raiz0 + 4) = ln(2)
Depois, avaliamos em :

Passo 8

Subtraímos os dois resultados:
ln(1 + raiz5) - ln(2)
Multiplicando pela constante 13 ( ln(1 + raiz5) - ln(2) ) , temos:

Resposta

A integral vale .

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