Seja G(x)=integrala^alpha(x) f(t) d t. Determine d Gd x em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos descobrir qual é a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar um conceito da Matemática chamado Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta a derivada com a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema Fundamental do Cálculo. Ele basicamente nos diz que se temos uma função definida como a integral de outra função, a derivada dessa função é simplesmente a função interna avaliada no limite superior, multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso, é definida como uma integral de de até . Então, para achar , vamos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando o teorema, a derivada de dGdx = f(alpha(x)) cdot dalpha(x)dx em relação a é:
Aqui, é a função avaliada no ponto , e é a derivada da função em relação a .

Passo 4

Então, resumindo, a derivada de depende diretamente do valor de no limite superior e de como esse limite superior muda quando muda, ou seja, da derivada de .

Resposta

A derivada de dGdx = f(alpha(x)) cdot dalpha(x)dx em relação a é:

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