Calcule:
integral0^pi3 sen(x) cos ^2(x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida integral0^pi3 sin(x)cos^2(x),dx. Vamos usar o método de substituição para simplificar.

Passo 2

Definimos a substituição u = cos(x). Tomando diferencial, obtemos du = -sin(x),dx, ou seja, sin(x),dx = -du.
Precisamos ajustar os limites de integração: quando x=0, u=cos(0)=1; quando x=pi3, u=cos(pi3)=tfrac12. Substituindo na integral, fica
integral0^pi3 sin(x)cos^2(x),dx = -integralu=1^u=tfrac12 u^2,du

Passo 3

Calculamos a integral de u^2:
integral u^2,du = u^33
Logo,
-integral1^tfrac12 u^2,du = -l[tfracu^33r]1^tfrac12

Passo 4

Avaliando o resultado:
-l(tfrac(1/2)^33 - tfrac1^33r) = -l(tfrac1/83 - tfrac13r) = -l(tfrac124 - tfrac13r) = -l(-tfrac724r) = tfrac724

Resposta

tfrac724

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