Questão 1. Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^pi cos^4(x) , dx.
Aqui, o assunto é o cálculo de integrais, especificamente integrando funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função como cos^4(x), é útil utilizar a identidade de potência reduzida. A identidade para cos^2(x) é:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2

Passo 3

Como temos cos^4(x), podemos escrever isso como ((\cos{2}(x)){2}:
cos^4(x) = (1 + cos(2x)2)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir o quadrado:
(1 + cos(2x)2)^2 = 14 (1 + 2cos(2x) + cos^2(2x))

Passo 5

Temos agora cos^2(2x) que também pode ser simplificada usando a mesma identidade de potência reduzida:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
14 (1 + 2cos(2x) + 1 + cos(4x)2) = 14 (1 + 2cos(2x) + 12 + cos(4x)2)

Passo 7

Simplificando os termos dentro dos parênteses:
1 + 12 = 32 e 2cos(2x) + cos(4x)2
Então, temos:
14 (32 + 2cos(2x) + cos(4x)2) = 38 + 12cos(2x) + 18cos(4x)

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral0^pi cos^4(x) , dx = integral0^pi (38 + 12cos(2x) + 18cos(4x)) dx

Passo 9

Integrando termo a termo:
integral0^pi 38 , dx = 38x |0^pi = 38pi
integral0^pi 12cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 |0^pi = 14[sin(2pi) - sin(0)] = 0
integral0^pi 18cos(4x) , dx = 18 cdot sin(4x)4 |0^pi = 132[sin(4pi) - sin(0)] = 0

Resposta

Somando todos os resultados, a integral vale:
integral0^pi cos^4(x) , dx = 38pi

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