Encontre o comprimento da curva.
y=x^48+14 x^2, 1 <= x <= 2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o comprimento da curva definida por
y=x^48+14x^2, 1<= x<=2
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma função y=f(x). Para resolver, vamos usar a fórmula
L=integrala^braiz1+l(y'(x)r)^2,dx,
ou seja, precisamos calcular y' e depois integrar.

Passo 2

Calcular y':
Dada
y=x^48+14x^2,
derivamos termo a termo:
$$
y’=\frac{4x3}{8}+\frac{-2}{4x3}=\frac{x3}{2}-\frac{1}{2x3}=\frac{x^3 - x^{-3}}{2}.
$$

Passo 3

Simplificar o integrando: precisamos de
1+l(y'r)^2=1+l(x^3 - x^-32r)^2 =1+x^6 -2 + x^-64 =x^6+2+x^-64 =l(x^3+x^-32r)^2
Logo a raiz fica
raiz1+(y')^2=x^3+x^-32

Passo 4

Montar a integral de comprimento:
L=integral1^2x^3+x^-32,dx =12integral1^2l(x^3+x^-3r),dx

Passo 5

Calcular a primitiva:
integrall(x^3+x^-3r),dx=x^44-12x^2
Portanto
L=12l[x^44-12x^2r]1^2

Passo 6

Avaliar nos limites e simplificar:
Para x=2:
2^44-12cdot2^2=4-18=318
Para x=1:
1^44-12cdot1^2=14-12=-14
Diferença:
318-l(-14r)=318+28=338
Multiplicando por tfrac12
L=3316

Resposta

3316

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