Calcule: integral0^pi4 sen 2 x cos 2 x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral0^pi4sin 2x,cos 2x,dx. O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar uma identidade de produto de seno e cosseno.

Passo 2

Usamos a identidade sin Acos A=tfrac12sin(2A). No nosso caso, com A=2x, temos:
sin2xcos2x=tfrac12sin(4x)
Logo a integral se torna
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin2x\cos2x,dx
=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tfrac12\sin4x,dx
=\tfrac12\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin4x,dx$$

Passo 3

Agora encontramos a antiderivada de sin4x:
integralsin4x,dx=-tfrac14cos4x+C

Passo 4

Portanto
tfrac12integral0^pi4sin4x,dx =tfrac12l[-tfrac14cos4xr]0^pi4 =-tfrac18l[cos(pi)-cos0r]
Como cos(pi)=-1 e cos0=1, isso vale
-tfrac18[-1-1]=tfrac28=tfrac14

Resposta

tfrac14

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