Calcule: integral2^4 x^3x-1 d x

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular a integral integral2^4 x^3x-1,dx. O conteúdo envolve divisão de polinômios para reescrever a função racional e depois aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômio: dividindo x^3 por x-1 usando divisão longa, encontramos que
x^3x-1 = x^2 + x + 1 + 1x-1
Substituindo na integral, obtemos a decomposição em termos mais simples:
integral2^4 x^3x-1,dx = integral2^4 l(x^2 + x + 1 + 1x-1r),dx
Integrando termo a termo, usamos integral x^n,dx = x^n+1n+1 e integral 1x-1,dx = ln|x-1|. A primitiva geral é
$$
F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + \ln\lvert x-1\rvert + C. F(x) = x^33 + x^22 + x + lnlvert x-1rvert + C
F(4) = \frac{64}{3} + 8 + 4 + \ln(3) = \frac{100}{3} + \ln3,
$$
F(4) = 643 + 8 + 4 + ln(3) = 1003 + ln3,
Subtraindo F(2) = 83 + 2 + 2 + ln(1) = 203 + 0 = 203 obtemos:
F(4) - F(2)

Resposta

803 + ln3

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