Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e Justifique:
d) ( ) O polinómio de Legendre P2(x)=12(3 x^2-1) é uma solução da equação diferencial (1-x^2) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0. ( 0.5 Pts )

Passo 1

A questão pede para verificar se o polinómio de Legendre P2(x)=tfrac12(3x^2-1) satisfaz a equação diferencial (1-x^2)y''-2xy'+2y=0. O conteúdo envolvido é a equação de Legendre e a verificação de solução por substituição.

Passo 2

Lembrando que a equação de Legendre geral é (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0. Para n=2, o termo em y seria 2,·3=6, e não 2, o que já indica discrepância.

Passo 3

Para confirmar, calculamos as derivadas de P2:
y=12(3x^2-1), y'=3x, y''=3
Substituindo na equação dada:
(1-x^2),y''-2x,y'+2y = (1-x^2)·3 - 2x·(3x) + 2·12(3x^2-1) =3-3x^2 -6x^2 + (3x^2-1) =2 -6x^2 ≠0
Como o resultado não é zero, P2 não satisfaz a equação.

Passo 4

Portanto, a afirmação é falsa, pois ao substituir P2 na equação obtemos um resíduo 2-6x^2 diferente de zero.

Resposta

F

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