Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e Justifique:
c) ( ) O ponto x=0 é um ponto ordinário da equação de Legendre (1-x^2) y^prime prime-2 tau y^prime+p(p+1) y=0. (0.5 Pts)

Passo 1

Temos a equação de Legendre
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + p(p+1),y = 0.
O que se pede é classificar o ponto x=0 como ordinário ou singular. Para isso, vamos usar o conceito de ponto ordinário em equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Para verificar se x=0 é ponto ordinário, primeiro escrevemos a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
onde
P(x) = -2x1 - x^2,
Q(x) = p(p+1)1 - x^2

Passo 3

Um ponto x=x0 é ordinário se o coeficiente de y'' é diferente de zero em x0 e se as funções P(x) e Q(x) são analíticas (séries de potências) em torno de x0.

Passo 4

No nosso caso, em x=0 temos 1 - x^2 = 1neq 0, logo o coeficiente de y'' não se anula. Além disso, tanto
P(x)= -2x/(1-x^2) quanto Q(x)=p(p+1)/(1-x^2) são funções analíticas em x=0 (podem ser expandidas em séries de potências). Portanto, x=0 é ponto ordinário.

Resposta

V

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