Considere as funções f, g: R R dadas por f(x)=a x+b e g(x)=c x+d, com a, b, c, d in R, a neq 0 e c neq 0. Se f^-1 circ g^-1=g^-1 circ f^-1, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por:
a) b+a d=d+b c.
d) b+a c=d+b a.
b) d+b a=c+d b.
e) c+d a=b+c d.
c) a+d b=b+c d.

Passo 1

O enunciado dá duas funções afins f(x)=a x + b e g(x)=c x + d, com a,c≠0, e pede uma relação entre a,b,c,d que apareça quando f{-1}∘g{-1} for igual a g{-1}∘f{-1}. Vamos usar inversão e composição de funções lineares.

Passo 2

Primeiro encontramos as inversas. Como f(x)=a x + b é bijetora, temos f^{-1}(x)=\frac{x - b}{a}. De modo análogo, g^{-1}(x)=\frac{x - d}{c}.

Passo 3

Agora calculamos f{-1}∘g{-1}(x)=f{-1}\bigl(g{-1}(x)\bigr). Substituindo g^{-1}(x):
[
f{-1}∘g{-1}(x)=f^{-1}\bigl(\frac{x - d}{c}\bigr)=\frac{\frac{x - d}{c}-b}{a}=\frac{x - d - b c}{a c}.

Passo 4

Em seguida, g{-1}∘f{-1}(x)=g{-1}\bigl(f{-1}(x)\bigr) e, de forma semelhante:
[
g{-1}∘f{-1}(x)=g^{-1}\bigl(\frac{x - b}{a}\bigr)=\frac{\frac{x - b}{a}-d}{c}=\frac{x - b - a d}{a c}.

Passo 5

Para que as duas composições sejam iguais como funções, os termos independentes de x devem coincidir. Logo:
[
\frac{-(d + b c)}{a c}=\frac{-(b + a d)}{a c}\implies d + b c = b + a d.

Passo 6

Reconhecendo essa equação entre as alternativas, vemos que corresponde à opção a).

Resposta

b + a d = d + b c

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