Considere as funções
dadas por
e
, com
e
. Se
, então uma relação entre as constantes
e
é dada por:
a)
.
d)
.
b)
.
e)
.
c)
.
a)
d)
b)
e)
c)
Passo 1
O enunciado dá duas funções afins f(x)=a x + b e g(x)=c x + d, com a,c≠0, e pede uma relação entre a,b,c,d que apareça quando f{-1}∘g{-1} for igual a g{-1}∘f{-1}. Vamos usar inversão e composição de funções lineares.
Passo 2
Primeiro encontramos as inversas. Como f(x)=a x + b é bijetora, temos f^{-1}(x)=\frac{x - b}{a}. De modo análogo, g^{-1}(x)=\frac{x - d}{c}.
Passo 3
Agora calculamos f{-1}∘g{-1}(x)=f{-1}\bigl(g{-1}(x)\bigr). Substituindo g^{-1}(x):
[
f{-1}∘g{-1}(x)=f^{-1}\bigl(\frac{x - d}{c}\bigr)=\frac{\frac{x - d}{c}-b}{a}=\frac{x - d - b c}{a c}.
f{-1}∘g{-1}(x)=f^{-1}\bigl(\frac{x - d}{c}\bigr)=\frac{\frac{x - d}{c}-b}{a}=\frac{x - d - b c}{a c}.
Passo 4
Em seguida, g{-1}∘f{-1}(x)=g{-1}\bigl(f{-1}(x)\bigr) e, de forma semelhante:
[
g{-1}∘f{-1}(x)=g^{-1}\bigl(\frac{x - b}{a}\bigr)=\frac{\frac{x - b}{a}-d}{c}=\frac{x - b - a d}{a c}.
g{-1}∘f{-1}(x)=g^{-1}\bigl(\frac{x - b}{a}\bigr)=\frac{\frac{x - b}{a}-d}{c}=\frac{x - b - a d}{a c}.
Passo 5
Para que as duas composições sejam iguais como funções, os termos independentes de x devem coincidir. Logo:
[
\frac{-(d + b c)}{a c}=\frac{-(b + a d)}{a c}\implies d + b c = b + a d.
\frac{-(d + b c)}{a c}=\frac{-(b + a d)}{a c}\implies d + b c = b + a d.
Passo 6
Reconhecendo essa equação entre as alternativas, vemos que corresponde à opção a).
Resposta
b + a d = d + b c