Calcule
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 cos (x^2+y^2) d x d y
convertendo-a antes para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 cosl(x^2+y^2r),dx,dy
sobre a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=4. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas polares (substituição de x,y por r,theta e o jacobiano) para aproveitar a simetria circular.

Passo 2

Para converter para coordenadas polares, usamos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
Na região dada temos x^2+y^2<=4 e x,y>=0, ou seja
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi2
Logo a integral vira
integral0^pi/2 integral0^2 cosl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Como o integrando cos(r^2),r não depende de theta, separamos a integral:
l(integral0^pi/2 dthetar) ;l(integral0^2 rcos(r^2),drr)
A parte em r será resolvida via substituição u = r^2, du = 2r,dr.

Passo 4

Aplicando u = r^2, temos r,dr = du/2 e, quando r vai de 0 a 2, u vai de 0 a 4. Então
integral0^2 rcos(r^2),dr = 12 integral0^4 cos(u),du = 12l[sin(u)r]0^4 = 12sin(4)

Passo 5

A integral em theta é imediata:
integral0^pi/2 dtheta = pi2
Multiplicando os resultados das duas partes, obtemos
pi2 times 12 sin(4) = pi4sin(4)

Resposta

tfracpi4sin(4)

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