Calcule
convertendo-a antes para coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
. O conteúdo principal aqui é o uso de coordenadas polares (substituição de
por
e o jacobiano) para aproveitar a simetria circular.
Passo 2
Para converter para coordenadas polares, usamos
Na região dada temos
e
, ou seja
Logo a integral vira
Passo 3
Como o integrando
não depende de
, separamos a integral:
A parte em
será resolvida via substituição
,
.
Passo 4
Aplicando
, temos
e, quando
vai de 0 a 2,
vai de 0 a 4. Então
Passo 5
A integral em
é imediata:
Multiplicando os resultados das duas partes, obtemos