Dada a seguinte integral dupla
Calcule o valor da integral invertendo a ordem de integração.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo de integrais duplas. A questão pede para calcular a integral dupla
invertendo a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Atualmente, $ y $ varia de 0 a $ \pi $ e, para cada $ y $, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{y} $. Para inverter a ordem, precisamos expressar $ y $ em função de $ x $.
Passo 3
Se $ x $ vai de 0 a $ \sqrt{y} $, então $ y $ é pelo menos $ x^2 $. Além disso, como $ y $ vai até $ \pi $, $ x $ vai de 0 até $ \sqrt{\pi} $. Então, os novos limites de integração serão:
- $ x $ de 0 a $ \sqrt{\pi} $
- $ y $ de $ x^2 $ a $ \pi $
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Como $ x $ é constante em relação a $ y $, podemos tirar $ x $ da integral:
Passo 6
Integrando $ \cos(y) $ em relação a $ y $, temos:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
Resposta
O valor da integral dupla invertida é
.