Dada a seguinte integral dupla
integral0^pi integral0^raizy x cos (y) d x d y
Calcule o valor da integral invertendo a ordem de integração.

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo de integrais duplas. A questão pede para calcular a integral dupla
integral0^pi integral0^raizy x cos(y) , dx , dy
invertendo a ordem de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração e aplicar técnicas de integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Atualmente, $ y $ varia de 0 a $ \pi $ e, para cada $ y $, $ x $ varia de 0 a $ \sqrt{y} $. Para inverter a ordem, precisamos expressar $ y $ em função de $ x $.

Passo 3

Se $ x $ vai de 0 a $ \sqrt{y} $, então $ y $ é pelo menos $ x^2 $. Além disso, como $ y $ vai até $ \pi $, $ x $ vai de 0 até $ \sqrt{\pi} $. Então, os novos limites de integração serão:
  • $ x $ de 0 a $ \sqrt{\pi} $
  • $ y $ de $ x^2 $ a $ \pi $

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^raizpi integralx^2^pi x cos(y) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Como $ x $ é constante em relação a $ y $, podemos tirar $ x $ da integral:
integralx^2^pi x cos(y) , dy

Passo 6

Integrando $ \cos(y) $ em relação a $ y $, temos:
cos(y)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^raizpi -x sin(x^2) , dx = -integral0^raizpi x sin(x^2) , dx

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
- integralu=0^u=pi 12 sin(u) , du = -12 integral0^pi sin(u) , du

Passo 9

Integrando $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
sin(u)

Resposta

O valor da integral dupla invertida é -1.

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