Calcule integral0^1 sen(x^2) d x com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o problema: queremos calcular a integral definida integral0^1sin(x^2),dx com precisão de três casas decimais. O conteúdo principal envolve a expansão em série de Taylor de sin t e a integração termo a termo de potências de x.

Passo 2

Usamos a série de Maclaurin de sin t em t=x^2. Sabemos que
sin t = sumk=0^infty(-1)^kt^2k+1(2k+1)!
Substituindo t=x^2, obtemos
sin(x^2) = sumk=0^infty(-1)^kx^4k+2(2k+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1, usando integral0^1 x^n,dx=1/(n+1):
integral0^1sin(x^2),dx = sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)!integral0^1 x^4k+2,dx = sumk=0^infty(-1)^k1(2k+1)!14k+3

Passo 4

Vamos calcular numericamente os primeiros termos até que fiquemos com erro menor que 10^-4:
  • Para k=0: 1/(1!cdot3)=0,3333333333
  • Para k=1: -1/(3!cdot7)=-0,0238095238
  • Para k=2: 1/(5!cdot11)=0,0007575758
  • Para k=3: -1/(7!cdot15)=-0,0000132275
  • Para k=4: 1/(9!cdot19)=0,0000001449
    Somando até k=4 obtemos aproximadamente 0,3102683041.

Passo 5

Os termos com k>=5 são menores que 10^-6, então já atingimos a precisão desejada. Arredondando para três casas decimais, o valor da integral é 0,310.

Resposta

0,310

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