Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n!(n+2)!

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente usar testes de convergência para descobrir se a série sumn=1^infty n!(n+2)! converge ou diverge. Isso envolve entender um pouco sobre séries infinitas e como aplicar testes específicos para analisar o comportamento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Sabemos que n! = n times (n-1) times ldots times 1. Então, podemos reescrever (n+2)! como (n+2) times (n+1) times n!. Assim, temos:
n!(n+2)! = n!(n+2)(n+1)n! = 1(n+1)(n+2)
Então, a série fica:
sumn=1^infty 1(n+1)(n+2)

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste de Comparação para determinar a convergência da série. Esse teste nos permite comparar a série em questão com outra série conhecida cuja convergência ou divergência já sabemos.
Observamos que para n >= 1:
1(n+1)(n+2) < 1n^2
A série sumn=1^infty 1n^2 é uma série p com p = 2, e sabemos que uma série p converge se p > 1.

Passo 4

Como 1(n+1)(n+2) é menor que 1n^2 e a série sumn=1^infty 1n^2 converge, pelo Teste de Comparação, a série original sumn=1^infty 1(n+1)(n+2) também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n!(n+2)! é convergente.

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