Verifique se a soguinte scrie converge ou diverge
sumn=1^infty(n+1n)^-2 n^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^inftyl(tfracn+1nr)^-2n^2 converge ou diverge. Esse tipo de série numérica pode ser testado eficientemente pelo teste da raiz, pois o expoente cresce como n^2 e facilita o cálculo de raiz[n]an.

Passo 2

Definimos o termo geral an = l(tfracn+1nr)^-2n^2 e aplicamos o teste da raiz. Calculamos:
raiz[n]an = l(tfracn+1nr)^-2n = l(1 + 1nr)^-2n
Em seguida, usamos o fato clássico de que limntoinftyl(1 + 1nr)^n = e. Logo,
limntoinftyraiz[n]an = limntoinftyl(1 + 1nr)^-2n = e^-2

Passo 3

Como o limite obtido pelo teste da raiz é e^-2<1, concluímos que a série converge absolutamente pelo teste da raiz.

Resposta

Converge.

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