Calcule:
integral0^1 t^2(t^3-1)^8 d t

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral
integral0^1 t^2l(t^3-1r)^8,dt
Este é um caso clássico de integração por substituição: a parte t^3-1 elevada a uma potência sugere escolher essa expressão como nova variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^3 - 1,
então diferenciando temos
du = 3t^2,dt ,Longrightarrow, t^2,dt = du3
Precisamos também trocar os limites: quando t=0, u=0^3-1=-1; quando t=1, u=1^3-1=0.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1 t^2l(t^3-1r)^8,dt = integralu=-1^u=0 u^8cdotdu3 = 13integral-1^0 u^8,du
Agora aplicamos a regra da potência: integral u^8,du = u^9/9.

Passo 4

Assim,
13integral-1^0 u^8,du = 13cdotu^99|-1^0 = u^927|-1^0 = 0^9 - (-1)^927 = 127

Resposta

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