Seja f:] 0,+infty[ R uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se existe a>0 tal que f^prime(x)>0 para todo x >= a, então lim x +infty f(x)=+infty.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede: temos uma função f: ]0,+∞[ → ℝ, duas vezes derivável, e queremos decidir se “existe a>0 tal que f′(x)>0 para todo x≥a” implica que limₓ→+∞ f(x)=+∞. O conteúdo envolve monotonicidade e limite de função.

Passo 2

Sabendo que f′(x)>0 em [a,+∞) implica que f é estritamente crescente nesse intervalo, pois a derivada positiva diz que a função nunca decresce. Logo, para x₁<x₂, temos f(x₁)<f(x₂).

Passo 3

Entretanto, uma função estritamente crescente pode ser limitada acima e convergir a um valor finito. Um contraexemplo clássico é
f(x)=arctan(x)
Calculamos a derivada: f'(x)=1/(1+x^2)>0 para todo x>0, em particular para qualquer x≥a com a>0.

Passo 4

Porém
limxto+inftyf(x)=limxto+inftyarctan(x)=pi2<+infty
Isso mostra que f cresce mas não tende a +∞, logo o enunciado é falso.

Resposta

Falsa. Por exemplo, considere f(x)=\arctan(x). Temos f’(x)=1/(1+x²)>0 para todo x≥1, mas limₓ→+∞ f(x)=π/2<+∞.

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