Seja
uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se existe
tal que
para todo
, então
.
Se existe
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede: temos uma função f: ]0,+∞[ → ℝ, duas vezes derivável, e queremos decidir se “existe a>0 tal que f′(x)>0 para todo x≥a” implica que limₓ→+∞ f(x)=+∞. O conteúdo envolve monotonicidade e limite de função.
Passo 2
Sabendo que f′(x)>0 em [a,+∞) implica que f é estritamente crescente nesse intervalo, pois a derivada positiva diz que a função nunca decresce. Logo, para x₁<x₂, temos f(x₁)<f(x₂).
Passo 3
Entretanto, uma função estritamente crescente pode ser limitada acima e convergir a um valor finito. Um contraexemplo clássico é
Calculamos a derivada:
para todo
, em particular para qualquer
com
.
Passo 4
Porém
Isso mostra que f cresce mas não tende a +∞, logo o enunciado é falso.
Resposta
Falsa. Por exemplo, considere f(x)=\arctan(x). Temos f’(x)=1/(1+x²)>0 para todo x≥1, mas limₓ→+∞ f(x)=π/2<+∞.