Classificar cada EDO abaixo quanto a linearidade (linear ou não-linear) e quanto a ordem, e verificar se a função dada é solução.
y^prime+t y^2=0, y(t)=2t^2-2021.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ e uma função proposta $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $. Precisamos:
  1. Classificar a EDO quanto à linearidade (se é linear ou não-linear).
  2. Determinar a ordem da EDO.
  3. Verificar se a função dada é uma solução da EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma EDO ser linear e qual é a sua ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Uma EDO é dita linear se pode ser escrita na forma:
an(t) y^(n) + an-1(t) y^(n-1) + dots + a1(t) y' + a0(t) y = g(t)
onde os coeficientes $ a_i(t) $ dependem apenas de $ t $ e não de $ y $ ou suas derivadas. Além disso, não há termos onde $ y $ ou suas derivadas são multiplicadas entre si ou aparecem de forma não-linear.
Na nossa EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $, o termo $ y^{2} $ é não-linear porque é um termo quadrático em $ y $.

Passo 3

Portanto, a EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ é não-linear.
Agora, vamos determinar a ordem da EDO. A ordem é dada pela derivada mais alta presente na equação. Aqui, a derivada presente é $ y’ $, que é a primeira derivada.
Então, a ordem dessa EDO é primeira ordem.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $ é uma solução da EDO. Para isso, precisamos substituir $ y(t) $ e sua derivada $ y’ $ na EDO e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, vamos calcular $ y’ $.
Dada $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $, usando a regra da derivada para $ \frac{1}{u} $, onde $ u = t^{2} - 2021 $:
y(t) = 2t^2 - 2021
Calculando $ u’ $:
y(t)
Então,
y'

Passo 5

Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na EDO:
y
Calculando $ y^{2} $:
y'
Substituindo de volta:
y' + t y^2 = -4t(t^2 - 2021)^2 + t ( 2t^2 - 2021 )^2

Resposta

A EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ é não-linear e de primeira ordem. A função $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $ é uma solução dessa EDO.

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