Classificar cada EDO abaixo quanto a linearidade (linear ou não-linear) e quanto a ordem, e verificar se a função dada é solução.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ e uma função proposta $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $. Precisamos:
- Classificar a EDO quanto à linearidade (se é linear ou não-linear).
- Determinar a ordem da EDO.
- Verificar se a função dada é uma solução da EDO.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma EDO ser linear e qual é a sua ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Uma EDO é dita linear se pode ser escrita na forma:
onde os coeficientes $ a_i(t) $ dependem apenas de $ t $ e não de $ y $ ou suas derivadas. Além disso, não há termos onde $ y $ ou suas derivadas são multiplicadas entre si ou aparecem de forma não-linear.
Na nossa EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $, o termo $ y^{2} $ é não-linear porque é um termo quadrático em $ y $.
Passo 3
Portanto, a EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ é não-linear.
Agora, vamos determinar a ordem da EDO. A ordem é dada pela derivada mais alta presente na equação. Aqui, a derivada presente é $ y’ $, que é a primeira derivada.
Então, a ordem dessa EDO é primeira ordem.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $ é uma solução da EDO. Para isso, precisamos substituir $ y(t) $ e sua derivada $ y’ $ na EDO e ver se a igualdade se mantém.
Primeiro, vamos calcular $ y’ $.
Dada $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $, usando a regra da derivada para $ \frac{1}{u} $, onde $ u = t^{2} - 2021 $:
Calculando $ u’ $:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos $ y $ e $ y’ $ na EDO:
Calculando $ y^{2} $:
Substituindo de volta:
Resposta
A EDO $ y^{\prime} + t y^{2} = 0 $ é não-linear e de primeira ordem. A função $ y(t) = \frac{2}{t^{2} - 2021} $ é uma solução dessa EDO.