(3) Calcule
integral0^1(e^-t j+3 t^21+t^3 k) d t
onde j, k são vetores.

Passo 1

O problema pede para calcular o integral de uma função vetorial de ,t, de 0 a 1:
integral0^1l(e^-tj+3t^21+t^3kr),dt
Isso envolve o conteúdo de integrais de funções vetoriais. Vamos usar a linearidade da integral para separar componentes e, para a segunda parte, a técnica de substituição (u-substituição).

Passo 2

Pela linearidade da integral de funções vetoriais, podemos separar as componentes j e k:
integral0^1e^-tj,dt+ integral0^13t^21+t^3k,dt =l(integral0^1e^-t,dtr)j+ l(integral0^13t^21+t^3,dtr)k

Passo 3

Vamos calcular a componente em j:
Usamos a antiderivada de e^-t, que é -e^-t. Aplicando os limites de 0 a 1:
integral0^1e^-t,dt =l[-e^-tr]0^1 =-e^-1-(-e^0) =1-e^-1

Passo 4

Agora a componente em k. Fazemos a substituição u=1+t^3, logo du=3t^2,dt. Quando t=0, u=1; quando t=1, u=2. Assim:
integral0^13t^21+t^3,dt =integralu=1^u=2duu =l[ln ur]1^2 =ln2

Passo 5

Juntando as duas componentes, obtemos o resultado vetorial final: componente em j é 1-e^-1 e em k é ln2.

Resposta

(1-e^{-1})\mathbf{j} + \ln(2)\mathbf{k}

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