(3) Calcule
onde
são vetores.
Passo 1
O problema pede para calcular o integral de uma função vetorial de ,t, de 0 a 1:
Isso envolve o conteúdo de integrais de funções vetoriais. Vamos usar a linearidade da integral para separar componentes e, para a segunda parte, a técnica de substituição (u-substituição).
Passo 2
Pela linearidade da integral de funções vetoriais, podemos separar as componentes
e
:
Passo 3
Vamos calcular a componente em
:
Usamos a antiderivada de
, que é
. Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 4
Agora a componente em
. Fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim:
Passo 5
Juntando as duas componentes, obtemos o resultado vetorial final: componente em
é
e em
é
.
Resposta
(1-e^{-1})\mathbf{j} + \ln(2)\mathbf{k}