Considere o triângulo de vértices A=(1,-3,-1), B=(0,-2,2) e C=(4,-1,2). Determine o maior ângulo interno do triângulo A B C em graus. Utilize uma calculadora para calcular o ângulo a partir do cosseno.
Tomemos um exemplo: se o cosseno do ângulo é 1 / raiz3, o valor do ângulo é aproximadamente 0,955 rad ou 54,74^circ. Se utizarmos o valor aproximado 1 / raiz3 approx 0,577 obtemos 0,956 rad ou 54,76^circ. Aqui aceitaremos uma tolerância de 0,1 comparado com o valor exato. Então, nesse caso, todos os valores entre 54,6 e 54,8 seriam considerados corretos. Por exemplo, 54,7 ou 54,74 seria correto. Note que os cálculos intermediários devem ser exatos ou ter uma precisão maior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá as coordenadas dos vértices de um triângulo no espaço tridimensional e pede para encontrar o maior ângulo interno desse triângulo em graus. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, como encontrar os comprimentos dos lados usando a distância entre pontos no espaço e depois aplicar a Lei dos Cossenos para calcular os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos do triângulo: , e . Nosso objetivo é encontrar os comprimentos dos lados , e .

Passo 3

Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, usamos a fórmula:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos aplicar isso para cada par de pontos.

Passo 4

Calculando o comprimento de AB = raiz(0 - 1)^2 + (-2 - (-3))^2 + (2 - (-1))^2 = raiz(-1)^2 + (1)^2 + (3)^2 = raiz1 + 1 + 9 = raiz11 approx 3,316 :

Passo 5

Calculando o comprimento de BC = raiz(4 - 0)^2 + (-1 - (-2))^2 + (2 - 2)^2 = raiz4^2 + 1^2 + 0^2 = raiz16 + 1 + 0 = raiz17 approx 4,123 :

Passo 6

Calculando o comprimento de AC = raiz(4 - 1)^2 + (-1 - (-3))^2 + (2 - (-1))^2 = raiz3^2 + 2^2 + 3^2 = raiz9 + 4 + 9 = raiz22 approx 4,690 :

Passo 7

Agora que temos os comprimentos dos lados, podemos identificar qual Ângulo é o maior. O maior ângulo está oposto ao maior lado. No nosso caso, é o maior lado com aproximadamente 4,690 unidades. Portanto, o maior ângulo será o ângulo .

Passo 8

Vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar o ângulo cos(B) = AB^2 + BC^2 - AC^22 cdot AB cdot BC :
cos(B) = (3,316)^2 + (4,123)^2 - (4,690)^22 cdot 3,316 cdot 4,123
Substituindo os valores:

Passo 9

Calculando os quadrados:
cos(B) = 11 + 17 - 222 cdot 3,316 cdot 4,123 = 627,35 approx 0,219

Passo 10

Agora, para encontrar o ângulo B = arccos(0,219) approx 77,5^circ , usamos a função arco cosseno (arccos):

Resposta

O maior ângulo interno do triângulo é aproximadamente .

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