Calcule
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de 0 a 1 de $ 3 e^{\theta} \sqrt{2 + e^{\theta}} , d\theta $. Isso está relacionado ao cálculo de integrais que envolvem funções exponenciais e radicais. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para $ \sqrt{2 + e^{\theta}} $, podemos definir $ u = 2 + e^{\theta} $. Isso significa que a gente vai substituir essa parte complicada por uma variável mais simples.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ \theta $. Se $ u = 2 + e^{\theta} $, então a derivada é $ du/d\theta = e^{\theta} $. Isso nos dá $ du = e^{\theta} d\theta $. Perfeito, porque temos um $ e^{\theta} d\theta $ na nossa integral original.
Passo 4
Com a substituição, a integral fica mais simples. Originalmente, temos:
Substituindo $ u $ e $ du $, a integral passa a ser:
Agora, precisamos calcular os novos limites de integração. Quando $ \theta = 0 $, $ u = 2 + e^{0} = 3 $. Quando $ \theta = 1 $, $ u = 2 + e^{1} = 2 + e $.
Passo 5
Agora, a gente integra $ \sqrt{u} $ em relação a $ u $. Lembrando que $ \sqrt{u} = u^{1/2} $, e a integral de $ u^{1/2} $ é $ \frac{2}{3} u^{3/2} $. Então:
Passo 6
Simplificando a expressão, o 3 com o $ \frac{2}{3} $ cancela, ficando:
Resposta
Portanto, o valor da integral é: