Esboce os conjuntos de nível de
, para os seguintes valores de
Passo 1
O enunciado pede para desenhar os conjuntos de nível da função
para
. O conteúdo é teoria de superfícies definidas por formas quadráticas e vamos usar que o nível
é a superfície dada por
Passo 2
Para entender a forma dessa superfície, lembramos que
é uma forma quadrática positiva definida. Quando
, temos um elipsoide; quando
, um ponto; e quando
, não existem soluções reais.
Passo 3
Para
, a equação fica
Como cada termo do lado esquerdo é não negativo, não há forma de somá-los e obter um valor negativo. Logo, o conjunto de nível é o conjunto vazio.
Passo 4
Para
, a equação é
A única forma de somar três quadrados e obter zero é cada quadrado ser zero, ou seja,
,
,
. Então o nível é o ponto
.
Passo 5
Para
, temos o elipsoide não-degenerado
Esse elipsoide tem semieixos dados por resolver cada termo isolado: para
Passo 6
Nesse esboço, representamos no sistema
o elipsoide de raios
,
e
ao longo dos eixos
,
e
, respectivamente.
Resposta
c=-1: conjunto vazio; c=0: ponto (0,0,0); c=1: elipsoide 4x²+y²+9z²=1 com semieixos ½, 1 e 1/3 ao longo dos eixos x, y e z.