Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y, z)=4 x^2+y^2+9 z^2
c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar os conjuntos de nível da função f(x,y,z)=4x^2+y^2+9z^2 para c=-1,0,1. O conteúdo é teoria de superfícies definidas por formas quadráticas e vamos usar que o nível f(x,y,z)=c é a superfície dada por 4x^2+y^2+9z^2=c

Passo 2

Para entender a forma dessa superfície, lembramos que 4x^2+y^2+9z^2 é uma forma quadrática positiva definida. Quando c>0, temos um elipsoide; quando c=0, um ponto; e quando c<0, não existem soluções reais.

Passo 3

Para c=-1, a equação fica 4x^2+y^2+9z^2=-1 Como cada termo do lado esquerdo é não negativo, não há forma de somá-los e obter um valor negativo. Logo, o conjunto de nível é o conjunto vazio.

Passo 4

Para c=0, a equação é 4x^2+y^2+9z^2=0 A única forma de somar três quadrados e obter zero é cada quadrado ser zero, ou seja, x=0, y=0, z=0. Então o nível é o ponto (0,0,0).

Passo 5

Para c=1, temos o elipsoide não-degenerado
4x^2+y^2+9z^2=1
Esse elipsoide tem semieixos dados por resolver cada termo isolado: para y=0,,z=0, x=pmtfrac12; para x=0,,z=0, y=pm1; para x=0,,y=0, z=pmtfrac13.

Passo 6

Nesse esboço, representamos no sistema (x,y,z) o elipsoide de raios 1/2, 1 e 1/3 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Resposta

c=-1: conjunto vazio; c=0: ponto (0,0,0); c=1: elipsoide 4x²+y²+9z²=1 com semieixos ½, 1 e 1/3 ao longo dos eixos x, y e z.

Exercícios relacionados