Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos bn são positivos, decrescentes e tendem a zero, então sum(-1)^n+1 bn converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
sumn=1^infty(-1)^n n10^n

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty(-1)^nn10^n. O conteúdo principal aqui é séries alternadas e convergência absoluta.

Passo 2

Definimos bn=n10^n. Note que bn>0. Para verificar se bn é decrescente, calculamos a razão
bn+1bn=n+110^n+1n10^n=n+110n<1(n>=1),
o que mostra que bn é decrescente a partir de n=1.

Passo 3

Calculamos o limite de bn:
limntoinftyn10^n=0,pois a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Passo 4

Como bn>0, bn é decrescente e lim bn=0, pelo Teste de Leibniz (séries alternadas) a série converge.

Passo 5

Agora, para ver se a convergência é absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^ntfracn10^nr|=sumn=1^inftyn10^n
Aplicamos o teste da razão novamente:
limntoinfty(n+1)/10^n+1n/10^n=110<1,no que implica convergência absoluta da série.

Passo 6

Portanto, a série sumn=1^infty(-1)^nn10^n converge absolutamente e, em consequência, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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