Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. (Dica: Aplique o Teste da Série Alternada quando possível: se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero, então converge. Em outros casos, considere também o Teste para a Divergência.)
Passo 1
A série dada é . O conteúdo principal aqui é séries alternadas e convergência absoluta.
Passo 2
Definimos . Note que . Para verificar se é decrescente, calculamos a razão
o que mostra que é decrescente a partir de .
Passo 3
Calculamos o limite de :
pois a exponencial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.
Passo 4
Como , é decrescente e , pelo Teste de Leibniz (séries alternadas) a série converge.
Passo 5
Agora, para ver se a convergência é absoluta, consideramos
Aplicamos o teste da razão novamente: limntoinfty(n+1)/10^n+1n/10^n=110<1,no que implica convergência absoluta da série.
Passo 6
Portanto, a série sumn=1^infty(-1)^nn10^n converge absolutamente e, em consequência, converge.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge).