Calcule integral0^3 integral0^2 integral0^1(x^2+y^2+z^2) d x d y d z

Passo 1

Temos que calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 no paralelepípedo 0<= x<=1, 0<= y<=2, 0<= z<=3. O conteúdo é integrais múltiplas e vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e calcular passo a passo.

Passo 2

Como a região de integração é um produto de intervalos, podemos separar a soma dentro da integral:
integral0^3integral0^2integral0^1(x^2+y^2+z^2),dx,dy,dz =integral0^3integral0^2integral0^1x^2,dx,dy,dz +integral0^3integral0^2integral0^1y^2,dx,dy,dz +integral0^3integral0^2integral0^1z^2,dx,dy,dz

Passo 3

Vamos calcular de forma iterada. Primeiro, integramos em x mantendo y e z fixos:
integral0^1(x^2+y^2+z^2),dx =integral0^1x^2,dx+integral0^1(y^2+z^2),dx =[x^33]0^1+(y^2+z^2)[x]0^1 =13+y^2+z^2

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^2l(13+y^2+z^2r),dy =integral0^213,dy+integral0^2y^2,dy+integral0^2z^2,dy =23+83+2z^2 =103+2z^2

Passo 5

Por fim, integramos em z:
integral0^3l(103+2z^2r),dz =103cdot3+2integral0^3z^2,dz =10+2cdot273 =28

Resposta

28

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