Determine se cada sequencia converge ou diverge, se convergir calcule seu limite:
n^1raiznn=1^infty

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar se a sequência an = n^1/sqrt(n) converge ou diverge, e caso convirgência, encontrar o limite. Vamos usar conceitos de funções exponenciais e logaritmos, além de L’Hôpital para tratar o comportamento do expoente.

Passo 2

Para entender o limite, reescrevemos an usando exponencial e logaritmo:
an = n^1/raizn = expl(ln(n^1/raizn)r) = expl(ln(n)raiznr)

Passo 3

Agora precisamos calcular o limite do expoente ln(n)raizn quando n to infty. Se esse limite for zero, então an tenderá a e^0=1.

Passo 4

Para achar limntoinfty ln(n)raizn, note que tanto ln(n) quanto raizn vão a infinito. Aplicamos L’Hôpital considerando a variável real xtoinfty:
limxtoinfty ln(x)raizx = limxtoinfty ddx[ln(x)]ddx[raizx] = limxtoinfty 1/xtfrac12raizx = limxtoinfty 2raizx = 0

Passo 5

Como o expoente tende a zero, concluímos que
limntoinfty an = exp(0) = 1

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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