Calcule:
integral0^1 x^2(2 x^3+5)^1001 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral
integral0^1 x^2l(2x^3+5r)^1001,dx
Esse problema é do tema integração por substituição, e vamos usar a derivada do denominador para facilitar.

Passo 2

Vamos definir a substituição
u = 2x^3 + 5
Então
du = 6x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = 16,du

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração:
quando x=0, temos u = 2cdot0^3 + 5 = 5;
quando x=1, temos u = 2cdot1^3 + 5 = 7.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, obtemos
I = integral0^1 x^2(2x^3+5)^1001,dx = integralu=5^7 16,u^-1001,du = 16integral5^7 u^-1001,du

Passo 5

Agora integramos a potência:
integral u^-1001,du = u^-1000-1000
Então
I = 16cdot u^-1000-1000gr|5^7 = -16000l(7^-1000 - 5^-1000r) = 16000l(5^-1000 - 7^-1000r)

Resposta

5^-1000 - 7^-10006000

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