Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integral cos ^3(3 theta) d theta

Passo 1

A gente precisa calcular a integral indefinida integral cos^3(3theta),dtheta. O assunto aqui é integração de potências de funções trigonométricas e vamos usar identidades trigonométricas para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo triplo para o cosseno:
cos(3alpha)=4cos^3!alpha-3cos!alpha
Isolando cos^3!alpha, temos:
cos^3!alpha=3cos!alpha+cos(3alpha)4
Aqui, colocamos alpha=3theta.

Passo 3

Substituindo em cos^3(3theta), obtemos:
cos^3(3theta)=14l(3cos(3theta)+cos(9theta)r)
Então a integral vira:
integralcos^3(3theta),dtheta=14integrall(3cos(3theta)+cos(9theta)r),dtheta

Passo 4

Agora integramos cada termo usando integralcos(ktheta),dtheta=tfrac1ksin(ktheta):
  • integral 3cos(3theta),dtheta=3cdottfrac13sin(3theta)=sin(3theta).
  • integralcos(9theta),dtheta=tfrac19sin(9theta).

Passo 5

Juntando tudo com o fator tfrac14 e adicionando a constante de integração C, chegamos à resposta.

Resposta

14sin(3theta)+136sin(9theta)+C

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