Calcule integral0^3 x^3raiz9+x^2 d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 3. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral observando a estrutura da função. Temos no numerador e no denominador. Para facilitar a integração, faremos uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Vamos definir uma substituição dudx = 2x Rightarrow du = 2x,dx . Assim, calculamos a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a substituir partes da integral em termos de .

Passo 4

Reescrevemos o x^3 = x cdot (u - 9) como integral x^3raizu,dx = integral x cdot (u - 9)raizu,dx e substituímos x,dx = du2 por :
Agora, substituímos na integral:
Sabendo que , podemos resolver para :

Passo 5

Substituímos tudo na integral:
integral (u - 9)raizu cdot du2 = 12 integral ( u^1/2 - 9u^-1/2 ) du
Agora, a integral está em termos de , o que facilita a resolução.

Passo 6

Integramos cada termo separadamente:
12 ( integral u^1/2,du - 9 integral u^-1/2,du ) = 12 ( 23u^3/2 - 18u^1/2 )
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos adicionar a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração. Sabendo que Quando x = 0,, u = 9 :
Quando x = 3,, u = 9 + 9 = 18
12 ( 23(18)^3/2 - 18(18)^1/2 - ( 23(9)^3/2 - 18(9)^1/2 ) )
Substituímos esses valores na expressão integrada:
= 12 ( 23 times 76.3675 - 18 times 4.2426 - ( 23 times 27 - 18 times 3 ) )
Calculando os termos:
= 12 ( 50.9117 - 76.367 - (18 - 54) )
= 12 ( 50.9117 - 76.367 + 36 )
= 12 times 10.5447 = 5.27235

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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