Calcule:
integral0^1 2 x cdot e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Observando a expressão du = 2x , dx , percebemos que a presença de é útil. Vamos definir . Assim, para encontrar , derivamos em relação a :
Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral0^1 2x cdot e^x^2 , dx = integralu(0)^u(1) e^u , du
Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição:
  • Quando integral0^1 e^u , du ,
  • Quando ,
    Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral e^u , du = e^u + C em relação a e^1 - e^0 = e - 1 :
Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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