Determine o(s) intervalo(s) do domínio de
f(x)=x^2 ln x
em que a concavidade é voltada para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os intervalos do domínio da função $ f(x) = x^{2} \ln x $ onde a concavidade está voltada para baixo. Isso envolve cálculo de derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos diz como a função está curvando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a concavidade de uma função é determinada pela segunda derivada. Se a segunda derivada $ f’’(x) $ for negativa ($ f’’(x) < 0 $), a concavidade está voltada para baixo.

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada $ f’(x) $ da função $ f(x) = x^{2} \ln x $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ u(x)v(x) $ é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $.
Aqui, $ u(x) = x^{2} $ e $ v(x) = \ln x $.
Calculando:
  • $ u’(x) = 2x $
  • $ v’(x) = \frac{1}{x} $
Então,
f'(x)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $ derivando $ f’(x) $.
Temos $ f’(x) = 2x \ln x + x $.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de $ 2x \ln x $ usa a regra do produto novamente:
    • $ u(x) = 2x $, $ u’(x) = 2 $
    • $ v(x) = \ln x $, $ v’(x) = \frac{1}{x} $
    • Então, $ \frac{d}{dx}(2x \ln x) = 2 \ln x + 2x \cdot \frac{1}{x} = 2 \ln x + 2 $
  • A derivada de $ x $ é $ 1 $
Portanto,
f''(x)

Passo 5

Queremos saber onde $ f’’(x) < 0 $, ou seja:
f''(x) < 0
Vamos resolver essa inequação.
Primeiro, isolamos $ \ln x $:
2 ln x + 3 < 0
ln x

Passo 6

Agora, para resolver $ \ln x < -\frac{3}{2} $, usamos a função exponencial para eliminar o logaritmo:
ln x < -32
Calculando $ e^{-\frac{3}{2}} $:
x < e^-32

Passo 7

Lembrando que o domínio da função $ f(x) = x^{2} \ln x $ exige que $ x > 0 $ (porque o logaritmo não é definido para $ x \leq 0 $).
Então, combinando isso com a solução da inequação, temos:
f(x) = x^2 ln x

Resposta

O intervalo do domínio onde a concavidade da função $ f(x) = x^{2} \ln x $ está voltada para baixo é $ 0 < x < e^{-1,5} $ ou aproximadamente $ 0 < x < 0,2231 $.

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